[{"data":1,"prerenderedAt":322},["ShallowReactive",2],{"deck:nombres-calcul":3},{"deck":4,"reason":321,"status":20},{"id":5,"stem":6,"matiere":7,"name":8,"punchline":9,"deckStatus":10,"customMessages":11,"sources":20,"cards":21},"nombres-calcul","decks/nombres-calcul","maths","Nombres et Calcul","C'est carré","publié",{"low":12,"medium":14,"high":17},[13],"Puissances et exposants, on reprend calmement.",[15,16],"Tu décomposes et factorises","La notation scientifique, ça rentre.",[18,19],"Les identités t'obéissent","Le calcul littéral, les yeux fermés.",null,[22,31,37,43,52,59,66,73,79,90,96,106,116,123,130,136,142,152,158,164,173,179,185,191,198,204,210,221,227,233,239,245,251,257,263,270,276,282,288,295,301,307,313],{"id":23,"tags":24,"question":27,"quick_answer":28,"details":29,"difficulty":30},"cl-001",[7,5,25,26],"calcul-litteral","identites-remarquables","Développe : $(a + b)^2$","$a^2 + 2ab + b^2$","**Identité remarquable** à connaître par coeur !\n\nPiège classique : $(a+b)^2 \\neq a^2 + b^2$",2,{"id":32,"tags":33,"question":34,"quick_answer":35,"details":36,"difficulty":30},"cl-002",[7,5,25,26],"Développe : $(a - b)^2$","$a^2 - 2ab + b^2$","**Identité remarquable** à connaître par coeur !\n\nAttention au signe **moins** devant $2ab$",{"id":38,"tags":39,"question":40,"quick_answer":41,"details":42,"difficulty":30},"cl-003",[7,5,25,26],"Développe : $(a + b)(a - b)$","$a^2 - b^2$","**Différence de deux carrés**\n\nAstuce : les termes en $ab$ s'annulent !",{"id":44,"tags":45,"question":46,"quick_answer":47,"details":48,"difficulty":49,"dependsOn":50},"cl-004",[7,5,25],"Formule de la **distributivité simple** :\n\n$k(a + b) = ?$","$ka + kb$","Fonctionne aussi avec un moins : $k(a - b) = ka - kb$\n\nC'est la base de tout développement et de toute factorisation.",1,[51],"mul-020",{"id":53,"tags":54,"question":55,"quick_answer":56,"details":57,"difficulty":58},"cl-005",[7,5,25],"Formule de la **double distributivité** :\n\n$(a + b)(c + d) = ?$","$ac + ad + bc + bd$","On multiplie **chaque terme** du premier facteur par **chaque terme** du second.\n\nAstuce : penser aux flèches croisées.",3,{"id":60,"tags":61,"question":63,"quick_answer":64,"details":65,"difficulty":58},"cl-006",[7,5,25,62],"factorisation","Comment **factoriser** l'expression $ka + kb$ ?","$k(a + b)$","C'est l'opération inverse du développement.\n\nRepérer le **facteur commun** à chaque terme, puis le mettre devant la parenthèse.\n\nExemple : $3x + 6 = 3(x + 2)$",{"id":67,"tags":68,"question":69,"answer":70,"details":71,"difficulty":72},"cl-007",[7,5,25,26],"Comment **reconnaître** qu'on peut factoriser avec $(a + b)^2$ ?","L'expression doit être de la forme :\n\n$a^2 + 2ab + b^2$\n\n- Deux **carrés parfaits** ($a^2$ et $b^2$)\n- Le **double produit** $2ab$ au milieu","Exemple : $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$\n\nVérification : $a = x$, $b = 3$, double produit $= 2 \\times x \\times 3 = 6x$ ✓",4,{"id":74,"tags":75,"question":76,"answer":77,"details":78,"difficulty":58},"cl-008",[7,5,25,26],"Comment **reconnaître** qu'on peut factoriser avec $a^2 - b^2$ ?","L'expression est une **différence de deux carrés parfaits** :\n\n$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$","Exemple : $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$\n\nCar $16 = 4^2$\n\nAttention : $a^2 + b^2$ n'est **pas** factorisable avec une identité remarquable.",{"id":80,"tags":81,"question":83,"answer":84,"details":85,"difficulty":30,"customSuccess":86,"customFail":88},"cl-009",[7,5,25,82],"equations","Qu'est-ce que la **propriété du produit nul** ?","Un produit de facteurs est nul **si et seulement si** l'un au moins de ses facteurs est nul.\n\n$A \\times B = 0 \\iff A = 0$ ou $B = 0$","C'est la clé pour résoudre les **équations produit-nul**.\n\nExemple : si $(2x + 1)(x - 3) = 0$, alors $2x + 1 = 0$ ou $x - 3 = 0$",[87],"Produit nul, c'est clean",[89],"Produit = 0 → un facteur = 0",{"id":91,"tags":92,"question":93,"answer":94,"details":95,"difficulty":72},"cl-010",[7,5,25,82],"Résous : $(2x + 1)(x - 3) = 0$","Par la propriété du produit nul :\n\n$2x + 1 = 0$ → $x = -\\frac{1}{2}$\n\nou\n\n$x - 3 = 0$ → $x = 3$\n\n**Deux solutions** : $x = -\\frac{1}{2}$ ou $x = 3$","Méthode :\n1. Écrire l'équation sous forme factorisée $A \\times B = 0$\n2. Résoudre $A = 0$ et $B = 0$ séparément\n3. Donner les deux solutions",{"id":97,"tags":98,"question":99,"answer":100,"details":101,"difficulty":30,"customSuccess":102,"customFail":104},"cl-011",[7,5,25,82],"Comment résoudre une équation du **premier degré** $ax + b = 0$ ?","$ax + b = 0$\n\n$ax = -b$\n\n$x = -\\frac{b}{a}$ (avec $a \\neq 0$)","Principe : isoler $x$ en effectuant les **opérations inverses** de chaque côté.\n\nExemple : $3x - 7 = 0 \\implies 3x = 7 \\implies x = \\frac{7}{3}$",[103],"Équation du 1er degré, basique",[105],"Isole x : opérations inverses des deux côtés",{"id":107,"tags":108,"question":109,"answer":110,"details":111,"difficulty":30,"customSuccess":112,"customFail":114},"cl-012",[7,5,25,26],"Piège classique : $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ?","**NON !**\n\n$(a + b)^2 = a^2 + \\mathbf{2ab} + b^2$\n\nIl manque le **double produit** $2ab$","Vérification rapide avec des nombres : $(3 + 2)^2 = 25$ mais $3^2 + 2^2 = 13$\n\nUne des erreurs les plus fréquentes en calcul littéral.",[113],"Tu ne tomberas pas dans le piège",[115],"N'oublie JAMAIS le 2ab",{"id":117,"tags":118,"question":120,"answer":121,"details":122,"difficulty":30},"cl-013",[7,5,119],"puissances","Piège : quelle différence entre $(-3)^2$ et $-3^2$ ?","- $(-3)^2 = (-3) \\times (-3) = \\mathbf{9}$\n- $-3^2 = -(3 \\times 3) = \\mathbf{-9}$","Les **parenthèses** changent tout :\n- $(-3)^2$ : on élève $-3$ au carré → positif\n- $-3^2$ : on élève $3$ au carré, puis on met le $-$ → négatif",{"id":124,"tags":125,"question":126,"answer":127,"details":128,"difficulty":129},"cl-014",[7,5,25,62],"Comment factoriser $3x^2 - 12$ ?","En **deux étapes** :\n\n1. **Facteur commun** : $3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4)$\n2. **Identité** $a^2 - b^2$ : $= 3(x + 2)(x - 2)$","Il faut souvent combiner les techniques :\n- D'abord mettre en facteur commun\n- Puis reconnaître une identité remarquable dans la parenthèse",5,{"id":131,"tags":132,"question":133,"quick_answer":134,"details":135,"difficulty":49},"cl-015",[7,5,25],"Comment **réduire** l'expression $5x + 3x - 2x$ ?","$6x$","Regrouper les **termes de même nature** (même lettre, même exposant) :\n$(5 + 3 - 2)x = 6x$\n\nExemple plus complexe : $x^2 + 3x - x^2 + 5 = 3x + 5$\n(les $x^2$ s'annulent)",{"id":137,"tags":138,"question":139,"quick_answer":140,"details":141,"difficulty":30},"cl-016",[7,5,25],"Calcule la **valeur numérique** de $2x^2 - 3x + 1$ pour $x = 3$.","$10$","Remplacer $x$ par $3$ et calculer :\n$2 \\times 3^2 - 3 \\times 3 + 1 = 2 \\times 9 - 9 + 1 = 18 - 9 + 1 = 10$\n\nAttention à bien respecter les **priorités opératoires** (puissances avant multiplications).",{"id":143,"tags":144,"question":147,"answer":148,"details":149,"difficulty":49,"dependsOn":150},"np-001",[7,5,145,146],"arithmetique","nombres-premiers","Qu'est-ce qu'un **nombre premier** ?","Un nombre qui n'a que **deux diviseurs** : 1 et lui-même.","Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13...\n\n**Attention** : 1 n'est PAS premier (un seul diviseur).\n\n2 est le seul nombre premier pair.",[151],"div-017",{"id":153,"tags":154,"question":155,"quick_answer":156,"details":157,"difficulty":49},"np-002",[7,5,145,146],"Piège : **1** est-il un nombre premier ?","Non","Un nombre premier a **exactement 2 diviseurs** (1 et lui-même).\n\n1 n'a qu'**un seul diviseur** (lui-même). Il n'est donc pas premier.\n\n0 n'est pas premier non plus.",{"id":159,"tags":160,"question":161,"answer":162,"details":163,"difficulty":72},"np-003",[7,5,145,146],"Comment vérifier si un nombre est **premier** ?","Tester la divisibilité par tous les nombres premiers **jusqu'à sa racine carrée**.\n\nSi aucun ne divise le nombre → il est premier.","Exemple : 37 est-il premier ?\n$\\sqrt{37} \\approx 6{,}1$ → tester 2, 3, 5\n- 37 n'est pas pair ✓\n- $3 + 7 = 10$, pas divisible par 3 ✓\n- Ne finit pas par 0 ou 5 ✓\n→ 37 est premier",{"id":165,"tags":166,"question":168,"answer":169,"details":170,"difficulty":30,"dependsOn":171},"np-004",[7,5,145,167],"divisibilite","Critère de divisibilité par **3** ?","La **somme des chiffres** est divisible par 3.","Exemple : 234 → $2 + 3 + 4 = 9$ → divisible par 3 ✓\n\nContre-exemple : 253 → $2 + 5 + 3 = 10$ → pas divisible par 3 ✗",[172],"div-015",{"id":174,"tags":175,"question":176,"answer":177,"details":178,"difficulty":30},"np-005",[7,5,145,167],"Critère de divisibilité par **9** ?","La **somme des chiffres** est divisible par 9.","Exemple : 738 → $7 + 3 + 8 = 18$ → divisible par 9 ✓\n\nAstuce : si divisible par 9, alors aussi divisible par 3 (car $9 = 3 \\times 3$). Mais l'inverse est faux.",{"id":180,"tags":181,"question":182,"quick_answer":183,"difficulty":49,"dependsOn":184},"np-009",[7,5,145,167],"Critère de divisibilité par **2** ?","Le nombre est pair (finit par 0, 2, 4, 6 ou 8)",[172],{"id":186,"tags":187,"question":188,"quick_answer":189,"difficulty":49,"dependsOn":190},"np-010",[7,5,145,167],"Critère de divisibilité par **5** ?","Le chiffre des unités est 0 ou 5",[172],{"id":192,"tags":193,"question":194,"quick_answer":195,"details":196,"difficulty":49,"dependsOn":197},"np-011",[7,5,145,167],"Critère de divisibilité par **10** ?","Le chiffre des unités est 0","Divisible par 10 = divisible par 2 **et** par 5 en même temps.",[172],{"id":199,"tags":200,"question":201,"answer":202,"details":203,"difficulty":30},"np-006",[7,5,145,146],"Qu'est-ce que la **décomposition en facteurs premiers** ?","Écrire un nombre comme un **produit de nombres premiers**.\n\nTout entier $> 1$ peut s'écrire de manière unique comme un produit de premiers.","Exemple : $60 = 2^2 \\times 3 \\times 5$\n\nOn utilise les exposants pour les facteurs qui se répètent.",{"id":205,"tags":206,"question":207,"answer":208,"details":209,"difficulty":58},"np-007",[7,5,145,146],"Comment **décomposer** un nombre en facteurs premiers ?","Diviser successivement par les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11...) jusqu'à obtenir 1.","Exemple avec 180 :\n$180 \\div 2 = 90$\n$90 \\div 2 = 45$\n$45 \\div 3 = 15$\n$15 \\div 3 = 5$\n$5 \\div 5 = 1$\n\nDonc $180 = 2^2 \\times 3^2 \\times 5$",{"id":211,"tags":212,"question":214,"answer":215,"details":216,"difficulty":58,"customSuccess":217,"customFail":219},"np-008",[7,5,145,213],"fractions","Comment rendre une **fraction irréductible** avec la décomposition en facteurs premiers ?","1. Décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers\n2. **Simplifier** les facteurs communs","Exemple : $\\frac{60}{84}$\n$60 = 2^2 \\times 3 \\times 5$\n$84 = 2^2 \\times 3 \\times 7$\nOn simplifie par $2^2 \\times 3 = 12$ :\n$\\frac{60}{84} = \\frac{5}{7}$",[218],"Fraction irréductible, validé",[220],"Décompose en haut et en bas, puis simplifie",{"id":222,"tags":223,"question":224,"quick_answer":225,"details":226,"difficulty":49},"pu-001",[7,5,119],"Comment multiplier deux puissances de même base ?\n\n$a^n \\times a^m = ?$","$a^{n+m}$","On **additionne** les exposants.\n\nExemple : $10^3 \\times 10^2 = 10^5$",{"id":228,"tags":229,"question":230,"quick_answer":231,"details":232,"difficulty":49},"pu-002",[7,5,119],"Comment diviser deux puissances de même base ?\n\n$\\frac{a^n}{a^m} = ?$","$a^{n-m}$","On **soustrait** les exposants.\n\nExemple : $\\frac{10^7}{10^3} = 10^4$",{"id":234,"tags":235,"question":236,"quick_answer":237,"details":238,"difficulty":30},"pu-003",[7,5,119],"Puissance d'une puissance :\n\n$(a^n)^m = ?$","$a^{n \\times m}$","On **multiplie** les exposants.\n\nExemple : $(10^3)^2 = 10^6$\n\nAttention à ne pas confondre avec $a^n \\times a^m = a^{n+m}$ (addition !)",{"id":240,"tags":241,"question":242,"quick_answer":243,"details":244,"difficulty":49},"pu-004",[7,5,119],"Que vaut $a^0$ (pour $a \\neq 0$) ?","$1$","Peu importe la base : $5^0 = 1$, $(-3)^0 = 1$, $10^0 = 1$\n\nJustification : $\\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1$",{"id":246,"tags":247,"question":248,"quick_answer":249,"details":250,"difficulty":30},"pu-005",[7,5,119],"Que signifie un **exposant négatif** ?\n\n$a^{-n} = ?$","$\\frac{1}{a^n}$","L'exposant négatif transforme en **inverse** :\n\n$10^{-3} = \\frac{1}{10^3} = \\frac{1}{1000} = 0{,}001$\n\n$2^{-1} = \\frac{1}{2} = 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chiffre avant la virgule, **non nul**)\n- $n$ est un entier relatif","Exemples :\n- $3 \\times 10^8$ ✓ (vitesse de la lumière en m/s, valeur arrondie)\n- $6{,}02 \\times 10^{23}$ ✓ (nombre d'Avogadro)\n- $35 \\times 10^7$ ✗ ($a = 35 \\geq 10$)",{"id":271,"tags":272,"question":273,"quick_answer":274,"details":275,"difficulty":58},"pu-009",[7,5,119,266],"Écris **0,00042** en notation scientifique.","$4{,}2 \\times 10^{-4}$","Méthode : déplacer la virgule pour obtenir un nombre entre 1 et 10, puis compter le décalage.\n\n$0{,}00042$ → virgule avance de **4 positions** → exposant $-4$\n\nGrand nombre : $3\\,800\\,000 = 3{,}8 \\times 10^6$ (virgule recule de 6 → exposant $+6$)",{"id":277,"tags":278,"question":279,"answer":280,"details":281,"difficulty":30},"pu-010",[7,5,119],"Piège : peut-on simplifier $2^3 \\times 5^4$ avec les règles des puissances ?","**Non.** Les règles $a^n \\times a^m = a^{n+m}$ et $\\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ ne fonctionnent que pour des puissances de **même base**.","$2^3 \\times 5^4$ : bases différentes (2 et 5) → on ne peut **pas** additionner les exposants.\n\nIl faut calculer : $8 \\times 625 = 5000$\n\nMais : $2^3 \\times 2^4 = 2^7 = 128$ ✓ (même base)",{"id":283,"tags":284,"question":285,"quick_answer":286,"details":287,"difficulty":72},"pu-011",[7,5,119],"Simplifie : $\\frac{10^5 \\times 10^{-2}}{10^4}$","$10^{-1} = 0{,}1$","Étape par étape :\n\n$\\frac{10^5 \\times 10^{-2}}{10^4} = \\frac{10^{5+(-2)}}{10^4} = \\frac{10^3}{10^4} = 10^{3-4} = 10^{-1}$",{"id":289,"tags":290,"question":292,"answer":293,"details":294,"difficulty":49},"rac-001",[7,5,291],"racines-carrees","Qu'est-ce que la **racine carrée** $\\sqrt{a}$ ?","Le nombre **positif** dont le carré vaut $a$.\n\n$\\sqrt{a} = b \\iff b^2 = a$ (avec $b \\geq 0$)","$\\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$\n$\\sqrt{2} \\approx 1{,}414$ (nombre irrationnel)\n\n$\\sqrt{a}$ n'existe que pour $a \\geq 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\\sqrt{4 \\times 3} = \\sqrt{4} \\times \\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}$\n\nCarrés parfaits à connaître : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100",{"id":314,"tags":315,"question":316,"answer":317,"details":318,"difficulty":30,"customFail":319},"rac-005",[7,5,291],"Piège : $\\sqrt{a + b} = \\sqrt{a} + \\sqrt{b}$ ?","**NON !**\n\n$\\sqrt{a + b} \\neq \\sqrt{a} + \\sqrt{b}$","Vérification : $\\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5$\n\nMais $\\sqrt{9} + \\sqrt{16} = 3 + 4 = 7 \\neq 5$\n\nLa racine carrée ne se distribue **que sur la multiplication**, jamais sur l'addition.",[320],"√ se distribue sur × mais PAS sur +","ok",1792059303663]